Être ou ne pas être inversible modulo n - Corrigé

Énoncé

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}^\ast\) .

1. Soit \(u \in \mathbb{Z}\) . Justifier que \(u\) est un inverse de \(a\) modulo \(n\) si, et seulement si, il existe \(v \in \mathbb{Z}\) tel que  \(au-nv=1\) .

2. En déduire que \(a\) possède un inverse modulo \(n\) si, et seulement si, \(\mathrm{PGCD}(a;n)=1\) .

Solution

1. On a : 
\(\begin{align*} au \equiv 1 \ [n]& \ \ \Longleftrightarrow \ \  \text{ il existe } v \in \mathbb{Z} \text{ tel que } au=1+nv\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \  \text{ il existe } v \in \mathbb{Z} \text{ tel que } au-nv=1.\end{align*}\)  

2. D'après le théorème de Bézout,
\(\begin{align*}\mathrm{PGCD}(a;n)=1& \ \ \Longleftrightarrow \ \  \text{il existe } (u;v) \in \mathbb{Z}^2 \text{ tel que } au+nv=1\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \  au \equiv 1 \ [n]\\& \ \ \Longleftrightarrow \ \  a \text{ admet un inverse modulo } n.\end{align*}\)